[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Dynamika układów hamiltonowskichUKŁAD DYNAMICZNYZ punktu widzenia fizykiN-wymiarowymukładem dynamicznymjest każdy układ fizyczny,którego:1.stanopisany jestNzmiennymi−oznaczmy jex1,x2, ...,xN(UWAGA! W tym momencienie mówimy nic o fizycznym sensie zmiennychx1,x2, ...,xN. Jak pokażemy dalej rozważającna przykład dynamikę cząstki w wielowymiarowej jamie potencjału, jedne z tych zmiennychbędą składowymi położenia, a inne składowymi pędu tej cząstki. W innych układach mogą tobyć zupełnie inne wielkości fizyczne np. temperatura, ciśnienie,ładunekitp.)2.ewolucja,w więc czasowe zmiany zmiennych determinujących stan, opisana jest układemNrównań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego:dx1/dt =f1(x1,x2, ...,xN),dx2/dt =f2(x1,x2, ...,xN),...dxN/dt =fN(x1,x2, ...,xN),UKŁAD HAMILTONOWSKIWśród układów dynamicznych jednymi z najstarszych i najlepiej zbadanych sąukładyhamiltonowskie.Dla układów tychNjest parzyste:N=2n;gdzienjest dowolną liczbą naturalną.nzmiennych, oznaczanych zazwyczaj jakoq1,q2, ...,qn, określanych jest jakopołożenia.uogólnione.npozostałych zmiennych, oznaczanych jakop1, p2,..., pn, określanych jest jakopędyuogólnione.Ewolucja układu hamiltonowskiego opisana jestNrównaniami, mającymi postać:dq1/dt =∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂p1dq2/dt =∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂p2...dqn/dt =∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂pn(2.)(1.)dp1/dt =− ∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂q1dp2/dt =− ∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂q2...dpn/dt =− ∂H(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn)/∂qnMamy tu więcnrównań opisujących ewolucję położeń inrównań opisujących ewolucjępędów.FunkcjaH(q1,q2, ...,qn,p1,p2, ...,pn), której znajomość pozwala na sformułowanie równańruchu układu, nazywana jest jegohamiltonianem.Zmienneqkipknazywane są w skróciezmiennymi sprzężonymi.CZĄSTKA W TRÓJWYMIAROWEJ JAMIE POTENCJAŁURozważmy najprostszy przykład hamiltonowskiego układu dynamicznego. Jest nim cząstka omasiemporuszająca się bez tarcia w 3-wymiarowej jamie potencjału:(.3.)U(q1,q2,q3),gdzieq1,q2,q3oznaczają współrzędne kartezjańskie (x,y, z)położenia cząstki, aUoznaczajej energię potencjalną. Sprawdźmy,żeistotnie równania ruchu można w tym przypadkusprowadzić do podanej wyżej postaci.rSiłaFdziałająca na cząstkę związana jest z funkcją energii potencjalnejUrównaniem:(.4.)rF= −grad UNapiszmy równanie to nieco dokładniej:k-ta składowa siły działającej na cząstkę równa jest:(5.)Fk=− ∂U/∂qk.Tak więck-tą składową newtonowskiego równania ruchu:(6.)m ak=Fkgdzieak= dvk/dtoznaczak-tą składową przyspieszenia, można zapisać jako:(7.)mdvk/dt=− ∂U/∂qk.Jeśli przypomnimy sobie,żezwiązek między pędem a prędkością dany jest wzorem:(8.)mvk=pkto równanie to przechodzi w(9.)dpk/dt=− ∂U/∂qkEnergia kinetyczna cząstki wynosi:(10.)K=mv12/2 +mv22/2 +mv32/2co można zapisać jako:(11.)K(p1,p2,p3) =p12/2m+p22/2m+p32/2m,skądk-tą składową prędkości cząstki można określić jako:(12.)dqk/dt=pk/m=∂K/dpk.Podsumowując powyższe faktyłatwozauważyć,żejeśli zdefiniujemy funkcję HamiltonaH(q1,q2,q3,p1,p2,p3) jako:(13.)H(q1,q2,q3,p1,p2,p3) =K(p1,p2,p3) +U(q1,q2,q3),a więc jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej cząstki, to równania (9) i (12) możnazapisać jako:(14.)dqk/dt=∂H/∂pk,dpk/dt=− ∂H/∂qk,k= 1, 2, 3,a więc mają oneżądanąpostać charakterystyczną dla układów hamiltonowskich.CAŁKI RUCHU UKŁADÓW HAMILTONOWSKICHCechą układów hamiltonowskich jest to, iż podczas ich ewolucji określonej równaniamiruchu wartość funkcji HamiltonaH(q1,q2, ...qn,p1,p2, ...,pn) pozostaje stała. Aby przekonaćsię o tym, sprawdźmy wartość jej pochodnej po czasie:(15.) dH/dt=∑(∂H/∂qk)(dqk/dt) +∑(∂H/∂pk)(dpk/dt) =∑(∂H/∂qk)(∂H/∂pk) +∑(∂H/∂pk)(-∂H/∂qk) = 0.Jeśli więc, tak jak jest to w przypadku cząstki w jamie potencjału, funkcja Hamiltona oznaczacałkowitą energię układu, to podczas ewolucji określonej równaniami ruchu energia tapozostaje stała−jestcałką ruchu.Z fizycznego punktu widzenia, jeśli funkcja Hamiltonaukładu jest jego całkowitą energią, to układ podczas swej ewolucji zachowuje jej wartość, jestwięc, jak mówimy,układem zachowawczym.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]